高中数学赛课：等差数列（视频）及教学设计

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时。借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式及其产生过程。通过本节课的学习,要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及应用。重点是理解等差数列的概念和掌握等差数列的通项公式及应用。本节课是在学生学习了函数以及数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓广，同时也是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，起着承前启后的作用。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在思想方法上都具有积极的意义。在实际生活中同样有着广泛的应用，同时也是培养学生数学能力的良好题材。因此它是本章的重点，也是高考考查的是重点内容之一，同时也是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养的落脚点。

二．教学目标设置

1．知识目标：理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的推导过程及应用。

2．能力目标：通过实例理解并明确等差数列的定义；探索并掌握等差数列的通项公式，从中培养学生观察、归纳能力；会用“基本量法”求解简单问题“；会利用等差数列的通项公式解决相关的应用问题。

3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，加强理论联系实际；培养学生善于观察的能力，进一步提高学生的推理、归纳以及计算能力；培养学生的数学应用意识，强化数学建模素养，渗透方程的数学思想；通过实际问题体会数学的价值，使学生会用数学的眼光去看世界，用数学的思维去分析世界，用数学的语言去表达世界。

三．学生学情分析

本节内容针对的是高二学生，经过高中一年的学习，学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但是思维的严密性还有待加强，实际应用意识不强，数学建模意识还较为浅薄。因而在授课时从具体的实例出发，逐步提高学生的抽象思维能力、应用意识、建模能力。

四．教学策略分析

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”为主导，结合分组讨论等策略进行教学。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题和解决问题的能力，培养了他们的创造力。这也正是新课程所倡导的数学教学理念。

教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过PPT演示，可使学生直观感知知识的产生过程，为掌握理性知识创造条件。通过板演，可以使学生对重点内容的理解和掌握更加到位。

五．教学过程

研讨素材二

1教学目标

理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能应用

2学情分析

学生学习了数列的定义，数列的分类，数列的通项公式等基础知识

3重点难点

重点：理解等差数列的定义，能熟练应用等差数列的通项公式

4教学过程

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对于等差数列的概念，教材采取了“事实一概念一表示”的处理方式，在分析、归纳实例的共性时，重点引导学生通过运算去发现数列的规律。运算是代数学的核心，本章通过具体例子说明了如何通过运算发现和提出问题。对于等差数列，教材在“思考”栏目（图2）中提到了运算对于发现规律的作用，并引导学生回忆在指数函数的学习中所经历的用运算发现“A,B两地旅游人数的变化规律”的过程，从而获得通过运算发现等差数列的取值规律的启示。对于数列9,18,27,36,45,54,63,72,81,学生可能自然地想到“18=9+9,27=18+9,•••,81=72+9”,教材把这种表达方式改成了“18-9=9,27-18=9,-,81-72=9",并在“边空”的提示中指出“改变表达方式使数列的取值规律更突出了”.然后,教材用字母代替数列中的具体项,得到,从而使“规律”呈现出了一般性,由此就容易概括出这个数列的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.等差数列的概念

关于等差数列的概念,教材介绍了等差数列的定义、等差中项的定义和性质.与数列定义的获得方式类似,教材是通过对具体的等差数列例子的归纳概括来获得等差数列的定义的.为了说明等差数列广泛存在于现实生活中,教材举了4个实际例子,其中前两个例子是关于建筑和服装设计的,说明人们在设计中会主动使用“相等间隔”的数，后两个例子则说明人们通过测量、计算等从自然界或经济生活中可能得到“相等间隔”的数.

那么,面对一列数,应该怎样研究它的取值规律咜?在本章的第一节已经通过例2和第6页“边空”中的“提示”给出了不同方法,即对于取值规律比较明显的数列,可以通过观察、猜测得出数列的整体规律;对于取值规律不明显的数列,可以通过运算进行代数推理而得出规律.对于等差数列,本节教材完整叙述了探究数列规律的一种有效方法,为学生研究一种新的数列作出了示范,教学中要注意引导,让学生经庐完整的探究过程.

首先，教材在思考栏目中提到了运算对于发现规律的作用,并引导学生回忆在指数函数的学习中所经历的用运算发现“两地旅游人数的变化规律”的过程，从而获得通过运算发现等差数列的取值规律的启示.

对于数列9,18,27,36,45,54,63,72,81,学生可能自然地想到“",教材把这种表达方式改成了“",并在“边空”的提示中指出“改变表达方式使数列的取值规律更突出了”.然后,教材用字母代替数列中的具体项,得到,从而使“规律”呈现出了一般性,由此就容易概括出这个数列的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.

接着,教材以“数列(2)～(4)也有这样的规律”的方式,让学生自己进行验证.

在上述过程的基础上,再给出等差数列的定义.

教学时要注意在引导学生通过运算、代数变换探究数列(1)的规律的基础上,让学生自主探究数列(2) ～(4)的规律,并进行共性归纳,然后再用严谨的数学语言抽象出等差数列的概念.

接着,从一般到特殊，教材特别研究了只含三项的等差数列,给出了“等差中项”的定义及其性质.从数值上看,等差中项等于首项与末项的算术平均数,这可以看成等差数列的一个重要性质.这里要特别强调“两个数的算术平均数”在等差数列研究中的重要意义.实际上,对于一般的等差数列中的三项,如果2p=m+n,那么就有.这个性质在推导等差数列的前n项和、证明一些等差数列的问题时都很有用.

2.等差数列的通项公式

如同一次函数等基本初等函数具有统一的表达式一样,等差数列也有统一的表达式（即通项公式).怎么得出等差数列的通项公式呢?教材采用了从等差数列的定义出发,先得到它的递推公式,再通过把分别表示为的形式,从而归纳得到,这就是首项为,公差为d的等差数列的通项公式.教学中要提醒学生,上述推理过程属于归纳推理,而由归纳推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,末必可靠.因此,等差数列通项公式的正确性还有待用第4.4节的数学归纳法予以严格的证明.

在教学中,教师也可以用“累加法”,即把n-1个等式的左右两边分别依次相加,得到,从而也可以得到等差数列的通项公式.实际上,这就是递推公式的一种应用.由于这种方法带有一定的技巧性,教材正文没有选用这种方法,而是用了上面提到的更直观的“归纳法”.但考虑到“累加法”的实用性,教材编非了两道习题(习题4.2的第12题的第(2)小题,复习参考题4的第13题的第（2）小题),教学中可以引导学生使用这种方法进行解题.

3.等差数列与一次函数的关系

为了从函数的角度理解数列,加深学生对等差数列的认识,接下来教材分两个方面研究了等差数列与一次函数的关系.

一方面,教材通过把等差数列的通项公式变形为,得到了就是一次函数的自变量取正整数时的函数值的结论.教学中,教师可以强调直线是以等差数列的公差d为斜率的.根据上述结论,教材通过在函数的图象上画出自变量取正整数的点,得到了数列的图象.这就从表达式和图象两个方面阐明了等差数列与相应的一次函数之间的关系.

另一方面,对于一个任意的一次函数,教材也说明了如何由它构造一个等差数列.教学中,教师可以让学生根据刚学习的等差数列与相应的一次函数之间的关系,自己回答这个问题.

总结以上两个方面,由确定一个一次函数需要两个独立的条件可知,确定一个等差数列需要两个独立的条件.特别地,给定等差数列的首项和公差,那么这个数列就唯一确定了.因此,在等差数列的教学中,要特别强调首项和公差的重要性.

4.关于例1、例2

安排例1、例2的目的是通过对等差数列的通项公式的简单应用,帮助学生理解公式所涉及的几个基本量之间的关系.

通过第4.1节的学习,学生已经知道利用通项公式可以求出数列的所有项.例1的第(1)小题是让学生将通项公式与等差数列的定义结合起来,由通项公式求出后,即可以由定义求得公差;第(2)小题是根据等差数列通项公式的定义,由数列的前两项获得首项、公差,即可求得通项公式.例2需要先由数列的前两项求得等差数列的通项公式,再利用通项公式判断某个数是否为该数列的项.

这两个例题的教学,要强调让学生形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式（方程、方程组）解决问题的思想方法.

【以上文本部分参考或引用自《普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用】

二、教学目标和目标解析

（1）理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；

（2）经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数之间的关系；

（3）对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义．

三、教学重点、难点

教学重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.

教学难点：等差数列的通项公式.

四、数学学科素养

数学抽象、逻辑推理、数学运算。

课件

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